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在向量微積分中，弗萊納公式(Frenet–Serret 公式)用來描述歐幾里得空間R³中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說，弗萊納公式描述了曲線的切向，法向，副法方向之間的關係。

單位切向量 T，單位法向量 N，單位副法向量 B，被稱作 弗萊納標架，他們的具體定義如下：

• T 是單位切向量，方向指向粒子運動的方向。
• N 是切向量 T 對弧長參數的微分單位化得到的向量。
• B 是 T 和 N 的外積。

弗萊納公式如下：

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其中d/ds 是對弧長的微分， κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。弗萊納公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。

弗萊納公式

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平面曲線上的亮點的切向量和法向量，以及標架在運動過程中的旋轉。

記r(t) 為歐式空間R³中的曲線，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗萊納公式只適用於正則曲線，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不為零的曲線。

記 s(t) 為 t時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：

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由於假設r′ ≠ 0，因此可以將 t 表示為 s 的函數，因此可將曲線表示為弧長 s 的函數 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線 r(s)，弗萊納標架 (或弗萊納基底)定義如下：

• 單位切向量 T：

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• 主法向量 N：

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• 副法向量 B 定義為 T 和 N 的外積：

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螺旋線上弗萊納標架的運動。藍色的箭頭表示切向量，紅色的箭頭表示法向量，黑絲的箭頭表示副法向量。

由於 檢視圖片 所以 N 與 T 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直於 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗萊納公式如下：

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其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。

弗萊納公式有時也被稱作弗萊納定理，並且可以寫做矩陣的形式：

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其中的矩陣是反對稱矩陣。

對弧長s求導，可以看成是對切方向的協變導數。